Алгебра и теория чисел :: занятие 04 (09.03.2010)

Занятие 1 (09.03.2010)
Практические задачи. Дискретное логарифмирование, перестановки и неабелевы группы
Лекция. (Теория) Основы теории групп
Лекция. (Практика) Основы теории групп

Занятие 1 (09.03.2010)
Дискретное логарифмирование, перестановки и неабелевы группы ps pdf
disclog.Дискретное логарифмированиеps pdf
permorder.Порядок перестановкиps pdf
nonabelian.Неабелева группаps pdf
(Теория) Основы теории групп
План лекции
  1. Определение полугруппы, моноида, группы
  2. Единственность единицы и обратного элемента в группе
  3. Абелева группа, конечная группа, изоморфизм групп
  4. Примеры групп
    1. Группа целых чисел $\mathbb{Z}$
    2. Группа остатков по модулю $n$ --- $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
    3. Группа движений плоскости
    4. Группа симметрий фигуры $F$
    5. Группа перестановок $S_n$ (симметрическая группа степени $n$)
    6. Группа четных перестановок $A_n$ (знакопеременная группа степени $n$)
    7. Группа невырожденных матриц $n \times n$ (общая линейная группа, $GL_{n}$)
    8. Группа матриц $n \times n$ с единичным определителем (специальная линейная группа, $SL_{n}$)
  5. Порядок элемента группы, циклические группы, конечно порожденные группы, p-группы
  6. Подгруппа, примеры
  7. Теорема о подгруппах циклической группы
  8. Представление конечных групп перестановками (регулярное представление группы)
  9. Смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы
  10. * Гомоморфизмы и изоморфизмы, образ и ядро, теорема о нормальности ядра
  11. * Теорема о изоморфности образа и фактор группы по ядру при гомоморфизме
(Практика) Основы теории групп
План лекции
  1. Вычисление порядка элемента в группе
  2. Вычисление порядка перестановки в группе $S_n$
  3. Дискретное логарифмирование в группе
  4. Действие группы на множестве
    1. Орбита элемента множества
    2. Стабилизатор элемента множества
    3. Множество неподвижных точек элемента группы
  5. Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий