Алгебра и теория чисел :: занятие 07 (27.03.2010)

Занятие 1 (27.03.2010)
Лекция. (Теория) Основы теории полей

Занятие 1 (27.03.2010)
(Теория) Основы теории полей
План лекции
  1. Поля
    1. Определение поля и подполя, изоморфизмы полей
    2. Примеры полей
      • Поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$
      • Поле вычетов по простому модулю $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
      • Поле рациональных функций $\mathbb{Q}(x)$
      • Поле $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$
    3. Мультипликативная группа поля
    4. Характеристика поля, простые поля, классификация простых полей
    5. Поле как линейное пространство над своим подполем
    6. Расширения полей
      • Присоединение множества элементов к полю
      • Простое расширение поля
        • Простое алгебраическое расширение поля
        • Простое трансцедентное расширение поля
      • Конечные расширения полей
      • Теорема о том, что любое конечное расширение - алгебраическое
      • Примеры
        • $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{3})$
        • $\mathbb{R} \subset \mathbb{C} = \mathbb{R}[i]$
        • $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(x)$
        • $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
    7. Поле частных кольца, поле $\mathbb{Q}$ как поле частных кольца $\mathbb{Z}$