Алгебра и теория чисел :: занятие 12 (11.05.2010)

Занятие 1 (11.05.2010)
Практические задачи. Уравнение Пелля и сумма двух квадратов
Лекция. (Теория+Практика) Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля

Занятие 1 (11.05.2010)
Уравнение Пелля и сумма двух квадратов ps pdf
pelleq.Уравнение Пелляps pdf
twosquares.Сумма двух квадратовps pdf
(Теория+Практика) Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля
План лекции
  1. Цепные (непрерывные) дроби
    1. Цепные дроби, рекуррентные формулы для числителей и знаменателей дробей
    2. Цепные дроби как приближения к числу
    3. Теорема о существовании бесконечного числа дробей $\frac{a}{b}$ таких, что $|\alpha - \frac{a}{b}| < \frac{1}{2b^2}$
    4. Теорема о существовании бесконечного числа дробей $\frac{a}{b}$ таких, что $|\alpha - \frac{a}{b}| < \frac{1}{\sqrt{5}b^2}$
    5. Теорема о том, что из $|\alpha - \frac{a}{b}| < \frac{1}{2b^2}$ следует что $\frac{a}{b}$ подходящая дробь для $\alpha$
    6. Цепная дробь $\sqrt{d}$
      • Теорема о периодичности
      • Алгоритм вычисления без использования вещественных чисел
      • Теорема о чистой периодичности $\lfloor\sqrt{d}\rfloor + \sqrt{d}$
      • Теорема о том, что период $\sqrt{d}$ состоит из симметричной части и $2a_0$
    7. Цепные дроби для квадратичных иррациональностей
      • Теорема о том, что любая периодическая цепная дробь --- квадратичная иррациональность
      • Теорема Лагранжа о том, что любая квадратичная иррациональность имеет периодическую цепную дробь
  2. Уравнение Пелля
    1. Теорема о том, что любое решение уравнения Пелля является подходящей дробью для $\sqrt{d}$
    2. Теорема о существовании нетривиального решения уравнения Пелля
  3. Связь цепных дробей и алгоритма Евклида
  4. Представление простых в виде суммых двух квадратов